Al principio pensé que en realidad obtenía un retracto de $\mathbb R^3-K$ donde $K$ es nuestro trefoil knot.
Para ello consideramos el $2$-complejo descrito por el siguiente diagrama. Una presentación del grupo fundamental es $<a,b;a^2=b^3>$.
El cual al hacer las identificaciones parece lo siguiente en un primer paso. Tenemos un cilindro cerrado sobre sí mismo identificando un punto de la tapa superior con otro de la inferior. Formando así una figura parecida a un toro, pero con las dos "bocas" abiertas y una cuerda cruzando el agujero central de la figura tórica. Esto último describe dos nuevas "bocas" en las que enchufaremos las dos anteriores. La primera la enchufamos añadiendo una célula azul por arriba.
Luego completamos enchufando con una célula verde por debajo.
Nótese que si viajamos por el interior de la figura apareceremos por una de las bocas al exterior y volvemos al interior por la otra boca rodeando la figura para volvernos a encontrar al principio y así describiendo un trefoil knot. De hecho es la espina que buscábamos. Para ello basta seguir la descripción celular del complemento de un nudo que hace R. Fenn en Techniques of geometric topology en las páginas 195-196. Para ello primero se construye el $2$-esqueleto proyectando el nudo (tómalo como un toro hueco) sobre el plano de tal forma que los cruces correspondan a dos trozos de tubo que al pasar el uno sobre el otro no deja hueco alguno con el plano. (Lo mejor es ver los dibujos de Fenn). Esto acota una un disco sobre el plano que la proyección anterior divide en una serie de $2$-células. Esto, adecuadamente dividido, describe el $2$-esqueleto. Presento lo que sería una sección vertical de este $2$-esqueleto.
El $3$-esqueleto se completa con el pegamiento de una $3$-célula cuya aplicación de pegamiento $S^2\to K^2$ consiste en enviar su hemisferio norte sobre la "parte superior" de $K^2$ y el hemisferio sur sobre la "parte inferior". Ahora podemos dividir esta $3$-célula en dos de tal forma que las nuevas $3$-células tengan como frontera $2$-esferas. Para ello elegimos un $2$-disco (azul en el dibujo) que junto a la "parte superior" de $K^2$ describen una esfera que acota en el interior a una $3$-célula. Ahora en la "parte inferior" de $K^2$ junto con el disco azul describen una $2$-esfera que acota en el exterior a la otra $3$-célula.
Ahora podemos describir los colapsos de $S^3-K$ sobre su espina. Sea lo siguiente un diagrama del $2$-esqueleto visto desde arriba. Los trazos gruesos corresponden a trozos cilíndricos que se unen entre sí en los cruces originales.
Por el interior del cilindro correspondiente al trazo negro empujamos hacia arriba por un disco sobre él que hará de cara libre de la $3$-célula que se asienta sobre él. Ahora el disco azul que describíamos más arriba es cara libre de la $3$-célula exterior por lo que podemos colapsarla sobre su cara opuesta que el la parte "inferior" de $K^2$. Así hemos eliminado las dos $3$-células de antes. Ahora podemos colapsar el resto de la superficie correspondiente al trazo negro pues tiene caras libres. Finalmente el trazo negro desaparece, quedando las superficies correspondientes a los cilindros amarilllos y azul además de las $2$-células horizontales de color celeste. Nótese que ahora quedan dos bocas, correspondientes al cilindro amarillo una y otra al azul, abiertas. Ahora deslizando los cilindros sobre las células celestes (esto corresponde a $3$-deformaciones), podemos deformarlo, deshaciéndonos de las células celestes (llevándolas a un sólo punto), al complejo que mostramos al principio.
