La sucesión de Milnor puede ser usada para calcular límites inversos, que, al menos al principio, suelen ser difíciles de visualizar. Dado un espacio (digamos un CW-complejo localmente finito para no complicarnos la vida) con una filtración $\{K_i\}$ por compactos (por ejemplo,subcomplejos finitos verificando $K_1\subset K_2\subset\dots$ y $X=\cup_i K_i$) entonces la sucesión de Milnor nos dice que la siguiente sucesión es exacta.
$$
0\longrightarrow \underset{\leftarrow}{\lim}_i^1H^{n-1}(K_i;R)\to H^n(X;R)\to \underset{\leftarrow}{\lim}_iH^n(K_i;R)\longrightarrow 0
$$
Aquí $R$ es cualquier anillo PID, dominio de ideales principales. (Véase el libro de Ross Geoghegan para más detalles sobre todo esto).
Ahora consideremos $X$ al plano $\mathbb R^2$ con una cantidad numerable de "agujeros", es decir, retiramos los interiores de discos disjuntos entre sí. Podemos suponer que los discos están alineados. Ahora filtramos $X$ mediante compactos conexos $K_i$ los cuales contienen a los primeros $i$ agujeros y que se retraen sobre sumas punteadas de $i$ circunferencias. Entonces para todo $i$ tenemos $H_0(K_i)=\mathbb Z$ y $H_1(K_i)=\oplus_{k=1}^i\mathbb Z_{h_k}$. Entonces por la sucesión de coeficientes universales $H^1(K_i)=\prod_{k=1}^i\mathbb Z_{h_k^*}$ y por su naturalidad (no la escibilidad!) como $H_1(K_i)=\oplus_{k=1}^i\mathbb Z_{h_k}\to H_1(K_{i+1})=\oplus_{k=1}^{i+1}\mathbb Z_{h_k}$ es la inclusión canóniga entonces $H_1(K_{i+1})=\prod_{k=1}^{i+1}\mathbb Z_{h_k^*}\to H_1(K_i)=\prod_{k=1}^i\mathbb Z_{h_k^*}$ es la proyección canóniga. En otras palabras tenemos
$$
pro H^0(X)=\{\mathbb Z_0=\mathbb Z_1=\dots=\mathbb Z_i=\dots\}
$$
y
$$
pro H^1(X)=\{\mathbb Z_{h_1^*}\leftarrow\cdots\leftarrow \prod_{k=1}^i\mathbb Z_{h_k^*}\leftarrow \prod_{k=1}^{i+1}\mathbb Z_{h_k^*}\leftarrow\cdots\}
$$
Como $proH^0$ es estable, en particular es semiestable y, por tanto, $\underset{\leftarrow_i}{\lim}^1H^0(K_i)=0$. (Para que el reverso sea cierto se necesita que los grupos sean numerables). Entonces la sucesión de Milnor nos dice que
$$
H^1(X)= \underset{\leftarrow}{\lim}\{\mathbb Z_{h_1^*}\leftarrow\cdots\leftarrow \prod_{k=1}^i\mathbb Z_{h_k^*}\leftarrow \prod_{k=1}^{i+1}\mathbb Z_{h_k^*}\leftarrow\cdots\}
$$
Claramente $X$ se retrae sobre una suma punteada numerable de esferas, por lo que, $H_1(X)=\oplus_{k=1}^\infty \mathbb Z_{h_k}$ y, por tanto, $H^1(X)=\prod_{k=1}^\infty \mathbb Z_{h_k^*}$. Ya tenemos el límite calculado.
