Este número será un invariante del grupo fundamental. (Pero esto es otra historia). Así que nos podríamos centrar en grupos (de $3$-variedades) con un sólo final. (Véanse los usuales argumentos tipo Stallings).
Llamemos $h_0=rank H_0(\partial M)$, $h_1=rank H_1(\partial M)$, $h_2=rank H_2(\partial M)$, $t=\mbox{# sup. tóricas en}\partial M$ y $s=\mbox{# esferas en}\partial M$.
Así que $h_0=s+t=h_2$ y $h_1\geq 2t\geq 2$, ya que $t\geq 1$ pues $\partial M\neq \emptyset$..
Consideremos el doble de la variedad $2M=M\cup_{\partial M}M$, entonces
$$
0=\chi(2M)=2\chi(M)-\chi(\partial M)
$$
Por tanto,
$$
2\chi(M)=\chi(\partial M)=h_0-h_1+h_2=2h_0-h_1
$$
Entonces
$$
(1)\quad h_1=2(h_0-\chi(M))
$$
$$
(2)\quad h_0=\frac{h_1}{2}+\chi(M)
$$
Entonces
$$
2h_0=h_1+2\chi(M)\leq 2 rank H_1(M)=2\chi (M)
$$
Por tanto
$$
(3)\quad 1\leq h_0\leq rank H_1(M)+\chi(M)= rank H_1(M)+(1-rank H_1(M)+rank H_2(M)-0)=1+rank H_2(M)
$$
De la ecuación 3 del final, obtenemos
$$
(4)\quad 0\leq h_1\leq 2rank H_1(M)
$$
Por $(1)$ de más arriba y del hecho de que $h_0\geq 1$, $\partial M\neq\emptyset$, la desigualdad $(4)$ puede se mejorada a
$$
(5)\quad 2(1-\chi(M))\leq h_1\leq 2rank H_1(M)
$$
Resumiendo, tenemos:
*(A) $2\chi(M)=2h_0-h_1$;
*(B) $1\leq h_0\leq 1+rank H_2(M)$;
*(C) $2(1-\chi(M))\leq h_1\leq 2rank H_1(M)$.
Se puede reflejar en el siguiente diagrama:
Dándole la vuelta a todo esto podemos encontrar cotas de la característica de Euler de $M$, $\chi (M)$.
De la ecuación $(1)$ obtenemos $0\leq h_0-\chi (M)$, luego $\chi(M)\leq h_0$.
Por otra parte, usando la ecuación $(3)$ podemos completar hasta
$$
(6)\quad \chi (M)\leq h_0\leq 1+rank H_2(M)
$$
Es más, de las ecuaciones $(4)$ y $(5)$ tenemos $1-\chi (M)\leq h_0-\chi (M)\leq rank H_1(M)$ por tanto
$$
(7)\quad 1-rank H_1(M)\leq \chi (M)
$$
Así que tenemos
$$
(8)\quad 1-rank H_1(M)\leq \chi (M) \leq 1+rank H_2(M)
$$
De forma similar obtenemos cotas para $t$ y $s$. (Si fuese necesario se podría suponer que $s=0$).
La ecuación $(B)$ implica
$$
(9)\quad 1\leq t\leq 1+rank H_2(M)
$$
La ecuación $(A)$ implica
$$
(10)\quad \chi(M)\leq 0
$$
De la ecuación $3$ de la nota final tenemos que
$$
(11)\quad 1\leq t\leq rank H_1(M)
$$
Así que podemos concluir que ,
$$
(12)\quad 1\leq t\leq min\{rank H_1(M), 1+rank H_2(M)\}
$$
Como $s\geq 0$ entonces $rank H_1(M)\geq 1+rank H_2(M)$, luego
$$
(13)\quad 1\leq t \leq 1+ rank H_2(M)
$$
Nota
1)Si $M$ es una variedad cerrada de dimensión impar, entonces la dualidad de Poincaré nos da que $\chi(M)=0$.
2)En particular si $M$ es una variedad compacta y con borde de dimensión $3$ entonces $2\chi(M)=\chi (\partial M)$.
3)De 2) se deduce que $rank H_1(M)\geq \frac{1}{2} rank H_1(\partial M)$ si $M$ es $3$-variedad.
