Cotas en el número de toros en una 3-variedad

 Si $M$ es una $3$-variedad compacta y orientable, entonces en su borde tendremos esferas y sumas conexas de toros, llamémoslas superficies tóricas. (Creo que también las llaman superficies hiperbólicas). Nos gustaría dar una cota sobre el número de superficies tóricas, suma conexa de toros, que nos podamos encontrar en el borde, $\partial M\neq \emptyset$. La cota ha de basarse en invariantes homológicos de $M$ como los rangos y la característica de Euler-Poincaré.
Este número será un invariante del grupo fundamental. (Pero esto es otra historia). Así que nos podríamos centrar  en grupos (de $3$-variedades) con un sólo final. (Véanse los usuales argumentos tipo Stallings).

Llamemos $h_0=rank H_0(\partial M)$, $h_1=rank H_1(\partial M)$, $h_2=rank H_2(\partial M)$, $t=\mbox{# sup. tóricas en}\partial M$ y $s=\mbox{# esferas en}\partial M$.
Así que $h_0=s+t=h_2$ y $h_1\geq 2t\geq 2$, ya que $t\geq 1$ pues $\partial M\neq \emptyset$..

Consideremos el doble de la variedad $2M=M\cup_{\partial M}M$, entonces
$$
0=\chi(2M)=2\chi(M)-\chi(\partial M)
$$
Por tanto,
$$
2\chi(M)=\chi(\partial M)=h_0-h_1+h_2=2h_0-h_1
$$
Entonces
$$
(1)\quad h_1=2(h_0-\chi(M))
$$
$$
(2)\quad h_0=\frac{h_1}{2}+\chi(M)
$$
Entonces
$$
2h_0=h_1+2\chi(M)\leq 2 rank H_1(M)=2\chi (M)
$$
Por tanto
$$
(3)\quad 1\leq h_0\leq rank H_1(M)+\chi(M)= rank H_1(M)+(1-rank H_1(M)+rank H_2(M)-0)=1+rank H_2(M)
$$
De la ecuación 3 del final, obtenemos
$$
(4)\quad 0\leq h_1\leq 2rank H_1(M)
$$
Por $(1)$ de más arriba y del hecho de que  $h_0\geq 1$, $\partial M\neq\emptyset$, la desigualdad $(4)$ puede se mejorada a
$$
(5)\quad 2(1-\chi(M))\leq h_1\leq 2rank H_1(M)
$$
Resumiendo, tenemos:
*(A) $2\chi(M)=2h_0-h_1$;
*(B) $1\leq h_0\leq 1+rank H_2(M)$;
*(C) $2(1-\chi(M))\leq h_1\leq 2rank H_1(M)$.
Se puede reflejar en el siguiente diagrama:

Dándole la vuelta a todo esto podemos encontrar cotas de la característica de Euler de $M$, $\chi (M)$.
De la ecuación $(1)$ obtenemos $0\leq h_0-\chi (M)$, luego $\chi(M)\leq h_0$.
Por otra parte, usando la ecuación $(3)$ podemos completar hasta
$$
(6)\quad \chi (M)\leq h_0\leq 1+rank H_2(M)
$$
Es más, de las ecuaciones $(4)$ y $(5)$ tenemos $1-\chi (M)\leq h_0-\chi (M)\leq rank H_1(M)$ por tanto
$$
(7)\quad 1-rank H_1(M)\leq \chi (M)
$$
Así que tenemos
$$
(8)\quad 1-rank H_1(M)\leq \chi (M) \leq 1+rank H_2(M)
$$

De forma similar obtenemos cotas para $t$ y $s$. (Si fuese necesario se podría suponer que $s=0$).
La ecuación $(B)$ implica
$$
(9)\quad 1\leq t\leq 1+rank H_2(M)
$$
La ecuación $(A)$ implica
$$
(10)\quad \chi(M)\leq 0
$$
De la ecuación $3$ de la nota final tenemos que
$$
(11)\quad 1\leq t\leq rank H_1(M)
$$
Así que podemos concluir que ,
$$
(12)\quad 1\leq t\leq min\{rank H_1(M), 1+rank H_2(M)\}
$$
Como $s\geq 0$ entonces $rank H_1(M)\geq 1+rank H_2(M)$, luego
$$
(13)\quad 1\leq t \leq 1+ rank H_2(M)
$$

Nota
1)Si $M$ es una variedad cerrada de dimensión impar, entonces  la dualidad de Poincaré nos da que $\chi(M)=0$.
2)En particular si $M$ es una variedad compacta y con borde de dimensión $3$ entonces $2\chi(M)=\chi (\partial M)$.
3)De 2) se deduce que $rank H_1(M)\geq \frac{1}{2} rank H_1(\partial M)$ si  $M$ es $3$-variedad.